精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，抛物线y=ax²+c经过点B₁（1， $数学公式$ ），B₂（2， $数学公式$ ）．在该抛物线上取点B₃（3，y₃），B₄（4，y₄），…，B₁₀₀（100，y₁₀₀），在x轴上依次取点A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁分别是以∠B₁，∠B₂，…，∠B₁₀₀为顶角的等腰三角形，设A₁的横坐标为t（0＜t＜1）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）记△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁的面积分别为S₁，S₂，…，S₁₀₀，用含t的代数式分别表示S₁，S₂和S₁₀₀；
（3）在所有等腰三角形中是否存在直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+c经过点B₁（1， $\text{[math]}$ ），B₂（2， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵A₁的横坐标为t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁= $\text{[math]}$ ×（2-2t）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S₂= $\text{[math]}$ ×2t× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t，
依此类推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀= $\text{[math]}$ ×100²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴S₁₀₀= $\text{[math]}$ ×2t• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂为等腰直角三角形，则A₁A₂=2-2t=2× $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
若△A₂B₂A₃为等腰直角三角形，则A₂A₃=2t=2× $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
若△A₃B₃A₄为等腰直角三角形，则A₃A₄=2-2t=2（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
解得t=0，依次向右，t逐渐变小，
∵0＜t＜1，
∴t的值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，所有等腰三角形中存在直角三角形．
分析：（1）把点B₁（1， $\text{[math]}$ ），B₂（2， $\text{[math]}$ ）代入抛物线解析式得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得解；
（2）根据点A₁的坐标利用等腰三角形三线合一的性质分别求出A₂、A₃的坐标，然后求出A₁A₂、A₂A₃的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可求出S₁、S₂，依此类推求出求出A₃A₄、A₄A₅的长度，然后得出规律并表示出A₁₀₀A₁₀₁的长度，再把x=100代入抛物线解析式求出y₁₀₀，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）按照从左到右的顺序，依次令三角形为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半列式求解得到t的值，再根据t的取值范围进行判断．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形三线合一的性质，以及规律探寻，（2）中求出等腰三角形底边的变化规律是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）

A、

B、

C、

D、

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线y₁=-ax²-ax+1经过点P（-

，

），且与抛物线y₂=ax²-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y₁=-ax²-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y₂=ax²-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D

两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线y=-ax²+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，

O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在

此抛物线上，矩形面积为12，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知：如图，抛物线y=ax²+ax+c与y轴交于点C（0，-2），

与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学