Question

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F． (1) 求证：BC是⊙P的切线； (2) 若CD＝2，CB＝，求EF的长； (3) 若设k＝PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	连接PA、PB，∵AC切⊙P于A，PA是⊙P的半径，∴AC⊥PA，即：∠PAC＝90°，又∵四边形PACB内接于⊙O，∴∠PBC＋∠PAC＝180°，∴∠PBC＝90°，即PB⊥CB，又∵PB是⊙P的半径，∴BC是⊙P的切线
(2)	由切割线定理，得：BC2＝CD·CE，∴CE＝，DE＝CE－CD＝4－2＝2，∴PB＝1，在Rt△EFC和Rt△BPC中，∠ECF＝∠BCP，∴Rt△EFC∽Rt△BPC，∴EF＝；
(3)	存在实数k，使△PBD为等边三角形． 　　即：k＝时，△PBD为等边三角形．