Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S₁、被直线RQ扫过的图形面积为S₂，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=______；AC=______；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）设S₂=mS₁，求m的变化范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，易证得四边形DBKC是平行四边形，可求得AK=4，由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC=CK，又由CE=2且是高，即可证得∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，继而求得∠AHB的度数，又由等腰直角三角形的性质，求得AC的长；
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解，注意当0＜x＜时，易得S₂=4S₁≠3S₁；当≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S₂与S₁的值，由S₂=3S₁，即可求得x的值；
（3）由（2）可得当0＜x＜时，m=4；当≤x≤2时，可得m═-36（-）²+4，然后利用二次函数的性质求得m的变化范围．
解答：解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，
∴BK=CD=，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3+=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴AE=EK=AK=2=CE，
∵CE是高，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK•cos45°=4×=4；
故答案为：90°，4；

（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．
①当0＜x＜时，
∵MN∥RQ，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG，
∴=4，
∴S₂=4S₁≠3S₁；
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4-1=3，
∵CG=4-2x，AC⊥BD，
∴S_△BCD=×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S_△CRQ=2×（）²=8（2-x）²，
∵S_梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S_△ABD=AB•CE=×3×2=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴，
∴S₁=x²，S₂=8-8（2-x）²，
∵S₂=3S₁，
∴8-8（2-x）²=3×x²，
解得：x₁=＜（舍去），x₂=2，
∴x的值为2；

（3）由（2）得：
当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，m=3，
∵S₂=mS₁，
∴m===-+-12=-36（-）²+4，
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3，
∴m的变化范围为：3≤m≤4．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数的最值问题．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合、分类讨论思想与函数思想的应用，注意辅助线的作法．