Question

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于点S、T．求证：∠ATS＝∠BSF．

Answer 1

答案：
解析：

证明：过点E作EGAD，EHBC，连结GH、AG、BH，则四边形DEGA、EHBC均为平行四边形． 　　∴AGDE，BHEC， 　　又∵DE＝EC， 　　∴AGBH． 　　∴四边形AGBH是平行四边形． 　　又∵F是AB中点， 　　∴H、F、G三点共线且F是GH中点． 　　∴EF是△EGH的中线． 　　又∵EG＝AD＝BC＝EH， 　　∴EF平分∠GEH． 　　又∵∠GEF＝∠ATS，∠HEF＝∠BSF， 　　∴∠ATS＝∠BSF．

提示：

点悟：由于∠ATS和∠BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，又没有直接的联系，故需通过添加辅助线使两个角有一定的关系，由于所给的条件和中点均在四边形ABCD内，因此可设想把∠ATS和∠BSF都移到四边形ABCD内． 　　点拨：在几何命题论证中，要注意通过添加适当的辅助线，将分散的、远离的元素，通过变化和转换，使它们相对集中，从而导出要求的结论．