Question

如图，已知△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．
（1）若∠B=40°，∠DEF=10°，求∠C的度数．
（2）当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系：______并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵EF⊥BC，∠DEF=10°，
∴∠EDF=80°，
∵∠B=40°
∴∠BAD=∠EDF-∠B=80°-40°=40，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=80°，
∴∠C=180°-40°-80°=60°；

（2）∵EF⊥BC，
∴∠EDF=90°-∠DEF，
∵∠EDF=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠DEF-∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=180°-2∠DEF-2∠B，
∴∠B+180°-2∠DEF-2∠B+∠C=180°，
∴∠B-∠C=2∠DEF．
分析：（1）在直角△DEF中利用直角三角形的两个锐角互余即可求得∠ADC的度数，然后根据三角形的外交的性质即可求得∠BAD的度数，则∠BAC的度数即可求得，然后利用三角形的内角和定理即可求得∠C的度数；
（2）把∠B和∠DEF当作已知角利用与（1）相同的方法即可求得．
点评：本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，正确理解定理是关键．