Question

如图，平行四边形ABCD，点O是对角线AC、BD的交点，MN过点O分别交AD、CB的延长线于点M、N，求证：四边形DMBN是平行四边形．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD为平行四边形（已知），
∴DM∥BN，OD=OB（平行四边形的对边平行，对角线互相平分），
∴∠MDO=∠NBO（两直线平行，内错角相等），
在△DOM和△BON中，
，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴MD=BN（全等三角形的对应边相等），
则四边形DMBN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
分析：先证明△DOM≌△BON，方法为：由四边形ABCD为平行四边形，得到对边DM与BN平行，对角线互相平分，即OD=OB，再由一对对顶角相等，利用ASA可得两三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得DM=BN，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形DMBN是平行四边形，得证．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，是一道证明题．其中平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形为平行四边形；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；两组对角分别相等的四边形为平行四边形．