Question

11．在△ABC中，tan∠B=$\frac{2}{3}$，AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，则线段BC的长为4或2．

Answer 1

分析 此题分两种情况：如图1，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知条件tan∠B=$\frac{2}{3}$，设AD=3x，BD=4x，根据勾股定理求出x的值，从而得出AD=2，BD=3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出CD=3，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．

解答 解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=$\frac{2}{3}$，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD²+BD²=AB²，
∴（2x）²+（3x）²=（$\sqrt{13}$）²，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC=BD+CD=4；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=$\frac{2}{3}$，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD²+BD²=AB²，
∴（2x）²+（3x）²=（$\sqrt{13}$）²，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC=BD-CD=2；
故答案为：4或2．

点评 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．