Question

在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该找补给乙多少元？（ ）
A．1元
B．2元
C．3元
D．4元

Answer 1

【答案】分析：先设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10-（5+y）=5-y元，再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可．
解答：解：设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10-（5+y）=5-y元，
∴有n²=20x+10+2y，
∵（20x+10）个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，
若2y是奇数，则2y=1，5，或9，
∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，
∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，
∴2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．
若y=2，n²=20x+14=2（10x+7），右边不是完全平方数
∴y=3，
∴甲应该找给乙5-3=2（元）钱．
故选B．
点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于n、x、y的方程，再分类讨论．