Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CE⊥AB，垂足为E，将△AEC沿AC翻折得到△AFC，AF交⊙O于点D，连接CD、OC．
（1）CF是⊙O的切线吗？请说明理由．
（2）当∠CAE=30°时，判断四边形AOCD是何种特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）CF是⊙O的切线．理由：
∵将△AEC沿AC翻折得到△AFC，CE⊥AB，
∴∠EAC=∠FAC，∠AFC=∠AEC=90°，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
又∵AB是⊙O的直径，C在⊙O上，
∴OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠ACO+∠FCA=90°，
即CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线；

（2）四边形AOCD是菱形．理由：
连接OD，
∵∠CAE=30°，
∴∠FAO=∠COB=2∠CAE=60°，
∴OC∥AD，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=OC，
∴AD=OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴四边形AOCD是菱形．
分析：（1）由折叠的性质，可得∠EAC=∠FAC，∠AFC=∠AEC=90°，又由OA=OC，易证得∠ACO+∠FCA=90°，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由∠CAE=30°，根据折叠的性质与圆周角定理，可证得AD∥OC，△AOD是等边三角形，即可证得四边形AOCD是菱形．
点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．