Question

如图，点D在△ABC的边上且与点B、C不重合，过点D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，已知BC=5，S_△ABC=S．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）设BD=x，写出y=S_?AEDF关于x的函数解析式，并求出?AEDF的最大面积；
（3）若S_?AEDF=S，求出BD的长．

Answer 1

证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△ABC．
∴=，=．
则三角形BDE的面积=S，三角形CDF的面积=S．
则y=S-S-S=（-+x）S，且y的最大值是S；

（3）若S_?AEDF=S，则（-+x）S=S，
解得x=．
又x＜5，
则x=．
分析：（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据相似三角形的面积比是相似比的平方，分别表示出△BDE的面积和△CDF的面积，再进一步表示y关于x的函数关系式，根据函数求得其最大值；
（3）在（2）的基础上，把S_?AEDF=S代入求解．
点评：此题考查了平行四边形的判定方法、相似三角形的判定和性质，能够根据二次函数探求函数的最值．