Question

3、如图所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？

Answer 1

分析：将河流看作直线l（如图所示）．设羊群在河边的饮水点为C′，作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B由两点之间线段最短及三角形的三边关系即可求解．

解答：解：将河流看作直线l（如图所示）．
设羊群在河边的饮水点为C′，则羊群行走路程为AC′+C′B．
设A关于直线l的对称点为A′，由对称性知C′A′=C′A．
因此，羊群行走的路程为A′C′+C′B．
线段A′C′与C′B是连接点A′与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连接点A′与点B之间的线中，线段A′B最短．设线段A′B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点．
作A关于直线l的对称点A′．连接B，A′，并设线段BA′与l交于C．设C′是l上不同于C的另外一点，只要证明AC′+C′B＞AC+CB①即可．
利用线段基本性质及点关于直线的对称性知：AC′=C′A′及CA=CA′，
所以AC′+C′B=C′A′+C′B，AC+CB=CA′+CB=A′B．
而C′A′与C′B是连接A′，B的折线，而A′B则是连接这两点之间的线段，
所以C′A′+C′B＞A′B=A′C+CB=AC+CB，
从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．

点评：本题考查的是两点之间线段最短及三角形的三边关系，解答此题的关键是河流看作直线l，作出点A关于l的对称点，再根据两点之间线段最短解答．