Question

已知抛物线．

(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C，直线y＝x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝＝＝＝，∵不管m为何实数，总有≥0，∴＝＞0，∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点． 　　(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴， 　　抛物线的解析式为＝，顶点C坐标为(3，－2)， 　　解方程组，解得或，所以A的坐标为(1，0)、B的坐标为(7，6)，∵时y＝x－1＝3－1＝2，∴D的坐标为(3，2)，设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为(3，0)，所以AE＝BE＝3，DE＝CE＝2， 　　①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP＝6，CD＝4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形． 　　②(Ⅰ)设直线CD向右平移个单位(＞0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x＝3，直线CD与直线y＝x－1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，－2)，∴D通过向下平移4个单位得到C． 　　∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形． 　　(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， 　　∴N坐标为(3，)， 　　又N在抛物线上，∴， 　　解得(不合题意，舍去)，， 　　(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， 　　∴N坐标为(3，)， 　　又N在抛物线上，∴， 　　解得(不合题意，舍去)，， 　　(Ⅱ)设直线CD向左平移个单位(＞0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x＝3，直线CD与直线y＝x－1交于点M(3，2)，又∵D的坐标为(3，2)，C坐标为(3，－2)，∴D通过向下平移4个单位得到C． 　　∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形． 　　(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形，∴M向下平移4个单位得N， 　　∴N坐标为(3，)， 　　又N在抛物线上，∴， 　　解得(不合题意，舍去)，(不合题意，舍去)， 　　(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， 　　∴N坐标为(3，)， 　　又N在抛物线上，∴， 　　解得，(不合题意，舍去)， 　　综上所述，直线CD向右平移2或()个单位或向左平移()个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．