Question

如图，已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且HC⊥CE，
（1）求证：点H是GF的中点；
（2）设

DE

BE

=x(0＜x＜1)，

S△ECH

S△GCF

=y，请用含x的代数式表示y．

Answer 1

分析：（1）由已知证得△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，再由同角和等角的余角相等得到∠HCG=∠FGC，∠HCD=∠HFC，故有FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）过点E作EM⊥CD于M，由于y=

S△ECF+S△FCH

S△FCG

=

1

2

+

S△ECF

S△FCG

=

1

2

+

EM

CG

，由于AD∥BG，得

DE

EB

=

AD

BG

由比例的性质求得用含x的代数式表示

EM

CG

的值，代入前式即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；

（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y=

S△ECF+S△FCH

S△FCG

=

1

2

+

S△ECF

S△FCG

=

1

2

+

EM

CG

，
∵AD∥BG，
∴

DE

EB

=

AD

BG

，
∴

AD

BG-AD

=

DE

BE-DE

，
∴

AD

CG

=

x

1-x

，
又∵

EM

BC

=

DE

BD

=

x

1+x

，
∴

EM

CG

=

EM•AD

BC•CG

=

x2

1-x2

，
∴y=

1

2

+

x2

1-x2

=

1+x2

2(1-x2)

．

点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．