Question

已知二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象经过点A（-3，6），并且与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设D为线段OC上的点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）先求得P、C两点坐标，然后通过证△BAC和△PCD来求出CD的长，即可得出D点的坐标．

解答：解：（1）已知抛物线过A（-3，6），B（-1，0）则有：

9 2 -3b+c=6 1 2 -b+c=0

解得

b=-1 c=- 3 2

∴二次函数的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）易知：P（1，-2），C（3，0），
过P作PM⊥x轴于M，
则PM=2，
∵抛物线过C（3，0）和B（-1，0），
∴BC=4，CM=2=PM，
∴∠PCO=45°
同理可求得∠ACB=45°，
∵∠DPC=∠BAC，∠PCO=∠ACB=45°，
∴△DPC∽△BAC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

易求AC=6

2

，PC=2

2

，BC=4
∴CD=

4

3

，OD=3-

4

3

=

5

3

∴D（

5

3

，0）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．