Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

解：（1）由抛物线y=﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，解得，
故抛物线为y=﹣x²+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得
故直线AC为y=x+1；
（2）作N点关于直线x=3的对称点N'，则N'（6，3），
由（1）得D（1，4），
故直线DN'的函数关系式为y=﹣x+，
当M（3，m）在直线DN'上时，
MN+MD的值最小，则m=﹣×=；
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上， 设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x²+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；
过点C作CG⊥x轴于点G，如图1设Q（x，x+1），
则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x﹣1）=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ=PQ·AG=（-x²+x+2）×3=-（x﹣）²+
∴面积的最大值为．