Question

20．如图，点A₂，A₄，A₆，…分别是射线OM上的点，点A₁，A₃，A₅，…分别是y轴正半轴上的点，△OA₁A₂，△OA₂A₃，△OA₃A₄，…分别是以OA₂，OA₃，OA₄…为底边的等腰三角形，若OM与x轴正半轴的夹角为60°，OA₁=1，则可求得点A₆的坐标为（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$），点A_2n的坐标为（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．

Answer 1

分析 过A₁作A₁B₁⊥OM于点B₁，过A₂作A₂B₂⊥y轴于点B₂，利用等腰三角形的性质以及解直角三角形即可找出点A₂、A₃的坐标，同理可得出点A₄、A₅、A₆、A₇、…、的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“点A_2n的坐标为（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）”，此题得解．

解答 解：过A₁作A₁B₁⊥OM于点B₁，过A₂作A₂B₂⊥y轴于点B₂，如图所示．
∵OM与x轴正半轴的夹角为60°，
∴∠A₁OB₁=30°，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，OB₁=$\sqrt{O{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△OA₁A₂为以OA₂为底边的等腰三角形，
∴OA₂=2OB₁=$\sqrt{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$OA₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OB₂=$\sqrt{O{{A}_{2}}^{2}-{A}_{2}{{B}_{2}}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
∴点A₂的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），点A₃的坐标为（0，3）；
同理，可得：点A₄的坐标为（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$），点A₅的坐标为（0，9），点A₆的坐标为（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$），点A₇的坐标为（0，27），…，
∴点A_2n的坐标为（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．
故答案为：（$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$\frac{27}{2}$）；（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形以及规律型中点的坐标变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“点A_2n的坐标为（$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n-1}$，$\frac{1}{2}$$（\sqrt{3}）^{2n}$）”是解题的关键．