Question

已知抛物线y=ax²+bx+c （0＜2a＜b）的顶点为P （x₀，y₀），点A （1，y_A）、B （0 ，y_B）、C （-1，y_C）在该抛物线上。
（Ⅰ）当a=1 ，b=4 ，c=10时，
①求顶点P 的坐标；
②求的值；
（Ⅱ）当y0 ≥0 恒成立时，求的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10， 此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10， ① ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为P（-2，6）； ②∵点在抛物线上， ∴， ∴； （Ⅱ）由0<2a<b，得， 由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1， 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB-yC，CD=1， 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，ye），交x轴于点，则， 于是，有，即， 过点E作于点G，易得， 有，即， ∵ 点在抛物线， 得， ∴ ， 化简，得，解得（x1=1舍去）， ∵恒成立，根据题意，有，则，即， ∴ 的最小值为3。