Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，点P是线段AC上的一动点，作PD⊥AC，垂足为P，交AB于点D，设AP=t（0＜t＜6）．设△APD关于直线PD的对称的图形与四边形BCPD重叠部分的面积为S．
（1）点A关于直线PD的对称点A′与点C重合时，t=______；
（2）求S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵点A关于直线PD的对称点A′与点C重合，AC=6，
∴CP=AP=3，
∴t=3，
故答案为：3；

（2）∵DP⊥AC，
∴∠APD=90°，
在Rt△APD中，∠A=30°，AP=t
∴PD=AD×tan30°=t，
①当0＜t＜3时，
∴S=S_△A′PD=A′P×PD=t•t，
即S=t²；
②3≤t＜6时，
∵A′P=AP=t，CP=6-t，
∴A′C=t-（6-t）=2t-6，
∵∠A=∠A′=30°，
∴EC=A′Ctan30°=（2t-6），
∴S=S_△A′PD-S_△A′CE=t²-（2t-6）•（2t-6）
S=-t²+4t-6．
分析：（1）根据折叠得出A′P=AP，即可求出答案；
（2）分为两种情况：①当0＜t＜3时，求出△A′PD的面积即可，②3≤t＜6时，分别求出△A′CE和△A′PD的面积，相减即可．
点评：本题考查了勾股定理和三角形的面积，解直角三角形的应用，用了分类讨论思想．