Question

求y=

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

Answer 1

分析：利用数形结合的思想，把x²+1、（4-x）²+4看成是勾股定理的形式，则可作线段MN=4，过A、B两点分别作AM⊥MN，BN⊥MN，使AM=1，BN=2，过点A作关于MN的轴对称点A′，连接AB，交MN于点P，则线段A′B即为所求的最小值，求解即可．

解答：解：利用数形结合，
如图，线段MN=4，
过A、B两点分别作AM⊥MN，
BN⊥MN，使AM=1，BN=2，
过点A作关于MN的轴对称点A′，
连接AB，交MN于点P，
则线段A′B即为所求的最小值．（2分）
过A′作A′C∥MN交BN延长线于C．
则A′C=4，BC=3，
在Rt△A′BC中，∠C=90°，
由勾股定理有：A′B²=A′C²+BC²，可得A′B=5，
所以原式的最小值为5．（2分）
（还有其它证明方法，请老师们按步骤给分）

点评：此题难度较大，由二次根式被开方因式的特点作图是个难点．