Question

如图，已知矩形ABCD，动点E从点B沿线段BC向点C运动（点E不与B、C重合），连结AE、DE，以AE为边作矩形AG，使边FG过点D．
（1）求证：△ABE∽△AGD；
（2）求证：矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等．

Answer 1

考点：矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，可得∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，继而可得∠BAE=∠DAG，则可证得：△ABE∽△AGD；
（2）法一：由△ABE∽△AGD，根据相似三角形的对应边成比例，可得AB•AD=AG•AE，即可得矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等．
法二：连接ED，可得S_矩形AEFG=2S_△ADE，S_矩形ABCD=2S_△ADE，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠B=∠G=∠BAD=∠EAG=90°，
又∵∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△ABE∽△AGD；

（2）法一：证明：∵△ABE∽△AGD，
∴

AB

AG

=

AE

AD

，
∴AB•AD=AG•AE，
∴矩形AEFG与矩形ABCD的面积相等．

法二：连接ED，
∵S_矩形AEFG=2S_△ADE，S_矩形ABCD=2S_△ADE，
∴S_矩形AEFG=S_矩形ABCD．

点评：此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．