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如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．
（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；
（2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△EPM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．
∴∠OPE+∠APB=90°．又∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴ $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ．
∴y= $\text{[math]}$ x（3-x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x（0＜x＜3）．
且当x= $\text{[math]}$ 时，y有最大值 $\text{[math]}$ ；

（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）．
设过此三点的抛物线为y=ax²+bx+C，则
∴ $\text{[math]}$
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+1；

（3）由（2）知∠EPB=90°，即点M与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1．
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴M（4，5）．
故该抛物线上存在两点M（3，2），（4，5）满足条件．
分析：（1）根据题目条件得出Rt△POE∽Rt△BPA，然后根据相似三角形的性质列出比例式，转化为关于x的二次函数最值问题解答．
（2）设出二次函数的一般式，利用待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可得到经过E、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）由（2），得到∠EPB=90°，即可知点M与点B重合时满足条件，求出直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1），进而求出PB向上平移2个单位则过点E（0，1）的解析式，与抛物线解析式组成方程组，其解即为M点坐标．
点评：此题考查了列抛物线解析式、待定系数法求函数解析式及三角形的存在性问题，都要用到数形结合的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究

O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

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如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=

x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEO=

．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

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x+b交折线OAB于点E．
（1）请写出直线y=-

x+b中b的取值范围；
（2）若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O₁A₁B₁C₁（其中O、A，B、C的对应点分别为O₁、A₁、B₁、C₁），请计算矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积为多少？（直接写出答案）

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端点B、C不重合），过点D作直线y=-

x+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA₁B₁C₁，试探究OA₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

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x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

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