Question

如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x²-6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长。

Answer 1

解：（1）连接OD， ∵OB是直径， ∴∠ODB=90°， ∴，且OD为⊙O的半径， ∴BD是圆的切线； （2）解方程，得， ∵BD，BC分别是上述方程的两个根，由图形可知BC<BD， 又∵BD，BCA分别是⊙O的切线和割线， ∴由切割线定理，得， 即， ∴AB=8 ∴半径； （3）∵， ∴∠A=90° 又∵∠ODB=90°， ∴∠ODB=∠A 在与中， ，且∠B是公共角， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，且AC为⊙O的直径， ∴MA与⊙O相切于点， 又∵MD与⊙O相切， ∴。