Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．

Answer 1

解：

（1）如右图所示，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵⊙O半径是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°•AB=5，
∴BC=10．

分析：（1）先连接OD、AD，由于AB是直径以及AB=AC，易证BD=CD，而OA=OB，从而可知OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，再结合DE⊥AC，易证∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）由⊙O半径是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，进而可求BC．
点评：本题考查了等腰三角形三线合一定理、三角形中位线定理、切线的判定和性质、特殊三角函数值、平行线的性质．解题的关键是，连接OD、AD，并证明OD是△ABC的中位线．