Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两顶点A，C坐标分别为（8，0）（0，4），将矩形沿对角线OB按图中方式折叠，此时A点落在A′处，且OA′与BC边交于点D．
（1）求过点O，D，A的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线对称轴上有一动点P，当点P运动到什么位置时，△PAA′的周长最小？（请用P点的坐标表示P点的位置，写出过程）
（3）在（1）中的抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以A、D、Q三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）根据折叠的性质知：∠DA′B=∠OAB=90°，A′B=AB=4；
∵OC=A′B，∠DA′B=∠DCO=90°，∠ODC=∠BDA′，
∴△OCD≌△BA′D，
∴CD=A′D；
设CD=A′D=x，则BD=8-x；
Rt△A′BD中，由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得x=3；
故D（3，4）；
设抛物线的解析式为：y=ax（x-8）²，
则有：3a（3-8）=4，
a=-；
∴y=-x（x-8）²=-x²+x．

（2）过A′作x轴的垂线，交BC于M，交OA于N；
在Rt△A′BD中，A′M⊥BD，则：
A′M=A′D•A′B÷BD=，
DM=A′D²÷BD=；
故CM=，A′N=，A′（，）；
△A′AP中，AA′的长为定值，若周长最小，那么PA+PA′最小；
由于O、A关于抛物线的对称轴对称，则点P必为直线OA′与抛物线对称轴的交点；
易求得直线OA′：y=x，
抛物线对称轴：x=4；
当x=4时，y=，即P（4，）．

（3）假设存在符合条件的Q点，则有：
①D为△ADQ的直角顶点；
易求得直线AD的斜率：k==-，
所以设直线DQ：y=x+h，
则有：×3+h=4，
解得h=，
即y=x+，
当x=4时，y=；
故Q（4，）；
②A为△ADQ的直角顶点，同①可求得Q（4，-5）；
③Q为△ADQ的直角顶点，设Q（4，m），
则有：=-1，
即m²-4m-4=0；
解得m=2±2；
即Q（4，2+2）或（4，2-2）；
综上可知：存在符合条件的Q点，且坐标为：
Q（4，-5）或（4，）或（4，2+2）或（4，2-2）．
分析：（1）欲求抛物线的解析式，就必须先求出D点的坐标，也就要求出CD的长；根据折叠的性质知：AB=A′B=OC=4，易证得△OCD≌△BA′D，那么CD=A′D，BD=BC-CD=8-CD，在Rt△A′BD中，利用勾股定理即可求出CD的长，从而得到点D的坐标，进而可由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）△PAA′中，AA′的长是定值，若此三角形的周长最小，那么PA+PA′的长最小，由于O、A关于抛物线的对称轴对称，那么P点必为直线OA′与抛物线对称轴的交点；过A′作x轴的垂线，交BC于M，交OA于N，在Rt△A′BD中，利用射影定理即可求得MD的长，利用直角三角形面积的不同表示方法即可求出A′N的长，由此求得点A′的坐标，进而得到直线OA′的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点P的坐标．
（3）此题应分三种情况考虑：
①点D为直角顶点，那么QD⊥AD，易得直线AD的解析式，由于QD⊥AD，那么直线QD和直线AD的斜率的乘积为-1，结合D点坐标即可求得直线DQ的解析式，联立抛物线的对称轴方程，即可求得点Q的坐标；
②点A为直角顶点，方法同①；
③点Q为直角顶点，设出点Q的坐标，由于DQ⊥AQ，那么两条直线的斜率乘积为-1，可据此列出关于Q点纵坐标的方程，从而求得点Q的坐标．
点评：此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、平面展开-最短路径问题、直角三角形的判定、互相垂直的两直线的斜率关系等重要知识，（3）题中，一定要根据不同直角顶点来分类讨论，以免漏解．