Question

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．
（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．

Answer 1

（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．
∴∠CBA=∠FBE．
∴△ABC≌△EBF．
∴EF=AC．
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC．
∴EF=AD．
同理可得AE=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段，一类是正方形，一类是三角形．
当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）；
当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）；
当图形为正方形时，∠BAC=150°；
当图形为三角形时，E，F，D三点共线．
分析：（1）要证明ADEF是平行四边形，可通过证明EF=AD，DF=AE来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要证明△ABC≌△DFC以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因为∠FCB=∠ACD=60°，那么都减去一个∠ACF后可得出∠BCA=∠FCD，那么就构成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通过证明△FEB≌△CAB得出EF=AD．
（2）可按∠BAC得度数的不同来分情况讨论，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．当∠BAC≠60°时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形．
点评：本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了．