Question

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限。动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标。

Answer 1

解：（1）Q（1，0）； 点P运动速度每秒钟1个单位长度。
（2）过点作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，    ∴AF=10-4=6，    在Rt△AFB中，，    过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，    ∵，     ∴△ABF≌△BCH，      ∴BH=AF=6，CH=BF=8，     ∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，     ∴所求C点的坐标为（14，12）。
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，   则△APM∽△ABF，   ∴，即，   ∴，，   ∴PN=OM=10-，ON=PM=， 设△OPQ的面积为S（平方单位）， ，（0≤t≤10）   ∵<0，   ∴当时，△OPQ的面积最大， 此时P的坐标为（，）。