Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． （注意：本题中的结果均保留根号）．

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°
∴OD=1，DB=
∴点B的坐标是（1，）．
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由已知可得：，
解得：a=，b=，c=0，
∴所求抛物线解析式为y=x²+x．
（3）存在，
由y=x2+x配方后得：y=（x+1）²﹣
∴抛物线的对称轴为x=﹣1
∵点C在对称轴x=﹣1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=﹣1对称，有CO=CA
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，
解得：k=，b=，
∴直线AB的解析式为y=x+，
当x=﹣1时，y=，
∴所求点C的坐标为（﹣1，），
（4）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），则y=x²+x①
过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E， 则PQ=﹣x，PG=﹣y，
由题意可得：
S_△PAB=S_梯形AFEB﹣S_△AFP﹣S_△BEP
=（AF+BE）﹒FE﹣AF﹒FP﹣PE﹒BE
=（﹣y+﹣y）（1+2）﹣（﹣y）（x+2）﹣（1﹣x）（﹣y）
=②
将①代入②， 化简得：S_△PAB=﹣x²﹣x+=（x+）²+
∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为．
此时
∴点P的坐标为．