Question

已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上一点，过P的直线交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。
（1）求证：PC·PD=PO·PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。

Answer 1

（1）证明：连结DO， ∵直径AB⊥DF， ∴ AD=AF ∴∠DOA=∠DCF， ∵∠DOP+∠DOA=180°，∠PCE+∠DCF=180°， ∴∠DOP=∠ECP ∵∠P=∠P， ∴ΔPOD∽ΔPCE， ∴， 即PC·PD=PO·PE；
（2）解：∵直径AB⊥DF， ∴DH=FH ∴ED=EF ∴EH平分∠DEF， ∵DE⊥CF， ∴∠DEC=∠DEF=90°， ∴∠FEH=45°，∠CEP=45°， ∵∠DCE=∠P+∠CEP=15°+45°=60°， ∴∠DOH=60°　　　　　　　　　　 在RtΔDOH中，由sin60°= ∴DH= ∴DF= ∵ ∴ ∴ 　　　　　　　 在RtΔDCF中，由　　　　 ∴　　　　　 ∴。