Question

如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在上运动（不与点B、C重合），过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E，连接AD、CD
（1）在图1中，求证：∠CDE=∠DAB；
（2）如图2，①当点D运动到什么位置时DE与⊙O相切？并证明你的结论；
②在①的条件下，求△ACD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠CDE=∠DAB；

（2）①当点D运动到的中点时，DE与⊙O相切．
证明：∵点D运动到的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

②连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=×360°=120°，∠ACB=60°，
∴∠BOD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵∠DAC=∠BAC=30°，
∴CD=AC•tan30°=6×=2，
∴S_△ACD=AC•CD=×6×2=6．
分析：（1）由DE∥BC，根据平行线的性质与圆周角定理，即可证得：∠CDE=∠DAB；
（2）①当点D运动到的中点时，由垂径定理，可得OD⊥BC，又由DE∥BC，即可得OD⊥DE，即可证得DE与⊙O相切；
②首先证得△ACD是直角三角形，然后求得CD的长，即可求得△ACD的面积．
点评：此题考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．