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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

    在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在AB上且AQ=2，过点Q作QR⊥AB垂足为Q，QR交折线AC-CB于R，当点Q以每秒1个单位的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB-BC-CA移动．设移动的时间为t（秒），
    （1）当t=1秒时，RQ=______，△ARQ的面积是______．
    （2）设△ARQ的面积是S，请写出S与t的函数关系式．
    （3）t为何值时PQ∥AC？
    （4）当t为何值时，直线QR经过点P？
    （5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC内部时，请计算出此时t的取值范围．

    解：（1），；

    （2）当R在AC边上，
    由△ARQ∽△ABC得，=，RQ=（2+t），
    S=（2+t）×（2+t）=（2+t）2=t2+t+，
    当R在BC边上，RQ=（8-t），S=t2+4t+；

    （3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
    由△BPQ∽△BCA得：
    =，
    解得t=；

    （4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
    AP=AQ即3t=2+t，
    t=1，
    ②当P在BC上时，
    由△BPQ∽△BAC得=，
    即：=，
    t=5s，
    ③当P在AC上不存在QR经过点P，
    综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；

    （5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
    ∵AP=3t，Q=2+t，
    ∴PQ=2+t-3t=2-2t，
    ∵四边形PQMN是正方形，
    ∴PN=2-2t，
    由△APN∽△ACB得，
    即，
    解得，
    当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
    PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得，
    即，
    解得，
    ∵t=1时点P与点Q重合．
    ∴≤t≤且t≠1时正方形PQMN在Rt△ABC内部．
    分析：（1）根据题意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性质求得QR，再根据三角形的面积公式求得面积；
    （2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S=t2+t+；②当R在BC边上，S=t2+4t+．
    （3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
    （4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
    （5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得，从而得出t；
    当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得，综上两种情况，可得出t的取值范围．
    点评：本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．
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