Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA．下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF，其中正确的是________（只填写序号）．

Answer 1

①②③⑤
分析：由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证△ABE≌△ADF，利用全等的性质判断①②③正确，在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知∠DAF=15°，从而得∠DGF=30°，设DF=1，则AG=GF=2，DG=，分别表示AD，CF，EF的长，判断④⑤的正确性．
解答：解：∵AB=AD，AE=AF=EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE=（∠BAD-∠EAF）=（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，
则∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG=，
∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，
∴EF=CF=+，而BE+DF=2，
∴④错误，
⑤∵S_△ABE+S_△ADF=2×AD×DF=2+，
S_△CEF=CE×CF==2+，
∴⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．