Question

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．

求证：

(1)AF∥BE；

(2)△ACP∽△FCA；

(3)CP＝AE．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP，∴∠B＝∠F　　(1分) 　　∵BO＝PO，∴∠B＝∠BPO　　(2分) 　　∴∠F＝∠BPF，∴AF∥BE　　(3分) 　　(2)∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径， 　　∴∠BAC＝90° 　　∵AB是⊙O的直径，∴∠BPA＝90°　　(4分) 　　∴∠EAP＝90°－∠BEA，∠B＝90°－∠BEA， 　　∴∠EAP＝∠B＝∠F　　(5分) 　　又∠C＝∠C，∴△ACP∽△FCA　　(6分) 　　(3)∵∠CPE＝∠BPO＝∠B＝∠EAP，∠C＝∠C 　　∴△PCE∽△ACP　∴　　(7分) 　　∵∠EAP＝∠B，∠EPA＝∠APB＝90° 　　∴△EAP∽△ABP　∴　　(8分) 　　又AC＝AB，∴　　(9分) 　　于是有　∴CP＝AE　　(10分)