Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点，点F是DC的中点，连接AE交BD于点G．
（1）求证：AE=DC；
（2）求证：四边形EFDG是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，
∴EC=BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=DC；

（2）证明：连接DE，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∵AD∥BE且AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵∠ABE=90°，
∴平行四边形ABED是矩形，
∴AE=BD，
∴GD=GE，
∴平行四边形EFDG是菱形．
分析：（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，易得EC=AD，则可得四边形AECD是平行四边形，即可得AE=DC；
（2）易证得四边形EFDG是平行四边形，即可得平行四边形ABED是矩形，则可证得GD=DE，即可得平行四边形EFDG是菱形．
点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．