Question

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=

1

2

ED，延长DB到点F，使

FB=

1

2

BD，连接AF．
（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

Answer 1

证明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=

1

2

BD，AE=

1

2

ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD
∴

BD

FD

=

ED

AD

=

2

3

，（3分）
又∵∠BDE=∠FDA，
∴△BDE∽△FDA．（5分）

（2）直线AF与⊙O相切．（6分）
证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，（7分）
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴

AB

=

AC

，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切．