Question

9．如图，在3×1的方格纸中，试求∠ACB+∠AFB+∠AEB的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 利用两组对应边成比例，且它们的夹角相等，则两三角形相似可判定△EAF∽△ECA，则∠EAF=∠ECA，再利用三角形外角性质得∠AEB=∠EAF+∠AFB，于是得到∠ACB+∠AFB+∠AEB=90°．

解答 解：∠ACB+∠AFB+∠AEB=90°，理由如下：
∵AE=$\sqrt{2}$，EF=1，EC=2，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{EF}{AE}$，
而∠AEF=∠CEA，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∵∠AEB=∠EAF+∠AFB，
而∠AEB=45°，
∴∠ACB+∠AFB+∠AEB=45°+45°=90°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；再运用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算和得到对应角相等．