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    精英家教网已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
    AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
    （Ⅰ）求BC、AP1的长；
    （Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
    （Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．
    分析：（I）根据题意可求出点B的坐标，从而得出BC的长，再证明Rt△BP1A∽Rt△CAB．即可求出AP1的长；
    （II）过P作BC的垂线，则可证明四边形P1PEB为平行四边形，∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，则s=-2m+9.1≤m＜4．
    （III）由△EFC∽△ABC，则EC，PE，PF，再由△EFC∽△PFA，得出AP，再根据当AP=5-
    		5
    时，外切；当AP＞5-
    		5
    时，相交；当AP＜5-
    		5
    时，外离三种情况得出答案．
    解答：解：（Ⅰ）∵点在直线y=2x+1上，
    ∴B（0，1）．
    又∵A（0，3），
    ∴AB=2，BC=2AB=4．
    ∵P1为圆心，F1为P1与直线AC的切点，
    ∴P1F1⊥AC，∠BAF1+∠ABF1=90°．
    又∵∠AP1F1+∠ABF1=90°，
    ∴∠AP1F1=∠BAF1．
    在Rt△ABC和Rt△P1AB中，
    ∵∠BP1A=∠CAB，
    ∴Rt△BP1A∽Rt△CAB．
    ∴
    AB
    BC
    =
    AP1
    AB
    ，AP1=
    AB2
    BC
    =
    22
    4
    =1    ；

    （Ⅱ）PD=4-m，过P作BC的垂线，垂足为G，
    ∵PF∥P1F1，P1P∥BE，
    ∴四边形P1PEB为平行四边形，
    ∴P1B=PE．
    又PG=AB，
    ∴Rt△BAP1≌Rt△PGE，AP1=GE=1．
    ∴EC=CG+GE=PD+GE=5-m，
    ∴s=-2m+9．（6分）
    1≤m＜4；

    （Ⅲ）当EF=1时，
    ∵△EFC∽△ABC，
    ∴
    EF
    EC
    =
    AB
    AC
    =
    		5
    5
    ，EC=
    		5
    ，
    ∵PE=BP1=
    		AB2+AP12
    =
    		5
    ，
    ∴PF=PE-EF=
    		5
    -1
    又△EFC∽△PFA，
    ∴
    EC
    EF
    =
    AP
    PF
    ，AP=
    EC×PF
    EF
    =5-
    		5
    ，
    当AP=5-
    		5
    时，外切；
    当AP＞5-
    		5
    时，相交；
    当AP＜5-
    		5
    时，外离．
    点评：本题是一个综合性的题目，考查的知识点有：相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系以及一次函数问题，综合性较强．
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    （1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
    （3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
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    （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
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