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    在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=θ，△AEF为正三角形，E、F在菱形边上．
    （1）如图1，当θ=120°时，证明：不论E、F在BC、CD上如何移动，总有BE=CF．
    （2）在（1）的条件下，当点E、F在BC、CD上移动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大（小）值．
    （3）操作探索：当θ分别满足下列条件时，能否作出菱形的内接正三角形AEF（E、F分别在菱形边上）？请填写下表（不必说明理由）．
    满足的条件 60°＜θ＜120° θ=120° 120°＜θ＜180°
    内接正△AEF个数
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    分析：（1）连接AC，由四边形ABCD是菱形与∠BAD=θ=120°，易证得△ABC是等边三角形，又由△AEF为正三角形，易证得△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
    （2）由S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，即可得四边形AECF的面积不变，由菱形的面积求解方法，即可求得这个定值，又由当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，即可求得答案；
    （3）由题意可得当60°＜θ＜120°时，可作内接正△AEF1个，当θ=120°，可作内接正△AEF无数个，当120°＜θ＜180°可作内接正△AEF3个．
    解答：精英家教网解：（1）连接AC，
    ∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AB=BC，BC∥AD，
    ∵∠BAD=θ=120°，
    ∴∠B=180°-∠BAD=60°，
    ∴△ABC是等边三角形，
    ∴AB=AC，
    ∵△AEF为正三角形，
    ∴AE=AF，
    ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
    ∴∠BAE=∠CAF，
    ∴△ABE≌△ACF，
    ∴BE=CF；

    （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
    ∵△ABE≌△ACF，
    ∴S△ABE=S△ACF，
    ∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
    ∵AB=4，∠B=60°，
    ∴AC=4，BD=4
    		3
    ，
    ∴S菱形ABCD=
    1
    2
    AC•BD=8
    		3
    ，
    ∴S四边形AECF=
    1
    2
    S菱形ABCD=4
    		3
    ；
    ∵当△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大，
    ∵当AE⊥BC时，AE最小，则此时△AEF的面积最小，
    ∵△ABC是等边三角形，AB=4，
    ∴AE=2
    		3
    ，
    ∴S△AEF=
    1
    2
    ×2
    		3
    ×3=3
    		3
    ，
    ∴△CEF的面积最大值为：S四边形AECF-S△AEF=4
    		3
    -3
    		3
    =
    		3
    ．

    （3）填表如下：
    满足的条件 60°＜θ＜120° θ=120° 120°＜θ＜180°
    内接正△AEF个数 1 无数个 3
    点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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    60
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    513
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    ．

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