Question

已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若AB=8cm，DE=2cm，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，∵D为BC的中点，
∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴在Rt△BED与Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF；

（2）解：如图，连接AD．
由（1）知，DE=DF=2cm，
又∵AC=AB=8cm，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=AB•DE+AC•DF=16cm²．
分析：（1）利用HL证得Rt△BED≌Rt△CFD，则由“全等三角形的对应边相等”证得结论；
（2）利用（1）中的结论和三角形的面积公式得到S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=AB•DE+AC•DF=16cm²．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．