Question

已知：如图，矩形ABCD中AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FG⊥AE与G．求证：AG=4GE．

Answer 1

证明：如图∵矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB：BC=5：6，EC=BC，FC=CD，
∴DF=CD．
∴==2，===2，
∴=．
又∵∠ECF=∠FDF，
∴△CEF∽△DFA，
==2，∠AFD=∠FEC，
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°．
又∵FG⊥AE，
∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴=，即==2，则AG=2FG．
==2，则EG=FG，
∴AG=4EG．
分析：易得==2，则△CEF∽△DFA，得=2与∠AFE=90°．所以通过相似三角形：△AFE∽△AGF的对应边成比例得到==2，则AG=2FG．△AFG∽△FEG的对应边成比例得到
==2，则EG=FG，由此易证得结论．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．此题难度较大，知识综合性较强．在判定两个三角形相似时，要注意充分利用公共角这一条件．