Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B在x轴的负半轴上，△ABO的面积是3．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M，使△AOM得周长最短？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A作直线AN与坐标轴交于点N，且使AN=OA，求△ABN的面积．

Answer 1

解：（1）设B（a，0），作AE⊥x轴于点E，作AH⊥y轴于点H，
∴BO=-a，
∵A（2，3），
∴AE=3，AH=2，
∴=3，
∴a=-2，
∴B（-2，0）

（2）设AB的解析式为：y=kx+b，由题意，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x+．

（3）存在点M，M（-1，）．

（4）如图，当AN交x轴于点N时，
∴△AEO≌△AEN，
∴OE=EN=2，
∴BN=6，
∴S_△ABN==9，
当AN′交y轴于点N′时，可得OH=HN′=3，
∴ON′=6，
在直线AB上，当x=0时，y=，
∴OG=，
∴GN′=，
∴S_△ABN′=+=9，
∴△ABN的面积为：9
分析：（1）设出点B的坐标，表示出BO的长度，作AE⊥x轴于点额E，作AH⊥y轴于点H，根据A点的坐标求出AE的值，利用三角形的面积公式就可以求出就可以求出BO的值，从而求出B点的坐标．
（2）运用待定系数法根据A、B的坐标就可以求出直线AB的解析式．
（3）作出OB的垂直平分线m交OB于点F，与AB的交点就是M点，由垂直平分线的意义就可以求出M的横坐标，再代入AB的解析式就可以求出M的坐标．
（4）当AN交x轴于点N，交y轴于点N′是由全等三角形就可以求出ON或ON′的长由点A的坐标就可以求出△ABN的面积．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，轴对称中的最短路线问题．