Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax²+bx+3．
把点A（1，0）、点B（-3，0）代入，得解得a=-1，b=-2
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4
∴顶点D的坐标为（-1，4）；

（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，
∴BC²=OB²+OC²=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，
∴CD²=DF²+CF²=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，
∴BD²=DE²+BE²=20
∴BC²+CD²=BD²
∴△BCD为直角三角形．

解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形．

（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3-a，=，即=，解得：a=-9，则P的坐标是（0，-9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3-b，则=，即=，解得：b=-，故P是（0，-）时，则△ACP∽△CBD一定成立；
④当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．
则AB=1-d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1-3，此时，两个三角形不相似；
⑤当P在y轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=-9，符合条件．
总之，符合条件的点P的坐标为：．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
点评：本题是相似三角形的判定与性质，待定系数法，勾股定理以及其逆定理的综合应用．