Question

高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元．在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利(年获利＝年销售额－生产成本－投资)为z(万元)．

(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)

(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)

(3)计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？

(4)公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图像说明：第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内？

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意知：当销售单价定为x元时，年销售量减少(x－100)万件，∴y＝20－(x－100)＝－x＋30． 　　即y与x之间的函数关系式是y＝－x＋30． 　　(2)由题意，得 　　z＝(30－x)(x－40)－500－1500＝－x2＋34x－3200．即z与x之间的函数关系式是z＝－x2＋34x－3200． 　　(3)∵当x＝160时，z＝－×1602＋34×160－3200＝－320 　　∴－320＝－x2＋34x－3200，整理，得x2－340x＋28800＝0， 　　解得x1＝160，x2＝180． 　　即同样的年获利，销售单价还可以定为180元．当x＝160时，y＝－×160＋30＝14； 　　当x＝180时，y＝－×180＋30＝12． 　　即相应的年销售量分别为14万件和12万件． 　　(4)∵z＝－x2＋34x－3200＝－(x－170)2－310． 　　∴当x＝170时，z取最大值，为－310，即当销售单价定为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资． 　　第二年的销售单价定为x元时，年获利为： 　　z＝(30－x)(x－40)－310＝－x2＋34x－1510． 　　当z＝1130时，即1130＝－x2＋34x－1510，整理得x2－340x＋26400＝0，解得：x1＝120，x2＝220，函数z＝－x2＋34x－1510的图像大致如图所示．由图像可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．