Question

如图，直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线y=ax²+bx+c过A、C、O三点。

（1） 求点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）过点B作直线与x轴交于点D，且OB²=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
（3）抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A（6，0），B（0，6）
连结OC，
由于∠AOB=90°，C为AB的中点，则
所以点O在⊙C上
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点，故点C的横坐标为3
又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3）
抛物线过点O，所以c=0
又抛物线过点A、C，
所以
解得：
所以抛物线解析式为：。
（2）OA=OB=6代入OB²=OA·OD，得OD=6
所以OD=OB=OA，∠DBA=90°
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线。
（3）假设存在点P满足题意
因C为AB中点，O在圆上，故∠OCA=90°，
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则∠CAP=90°或∠COP=90°
若∠CAP=90°，则OC∥AP，
因OC的方程为y=x，设AP方程为y=x+b
又AP过点A（6，0），则b=-6，
方程y=x-6与联立解得，
故点P₁坐标为（-3，-9）
若∠COP=90°，则OP∥AC，同理可求得点P₂（9，-9）
故存在点P₁坐标为（-3，-9）和P₂（9，-9）满足题意。