Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在某反比例函数图象的同一支上，它们的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为45°．
（1）求线段AB的长；
（2）求反比例函数的解析式．

Answer 1

解：（1）过点A、B分别作x轴的垂线段，垂足为C、D，过点B作y轴的垂线段于E，BE、AC相交于点F，
可得四边形FCDB、EOCF是矩形，
∴FC=BD=1，∠AFB=90°，
∴AF=AC-FC=7-1=6，
∵AC∥y轴，
∴∠FAB=45°，
∴BF=AF=6，
在Rt△AFB中，根据勾股定理得：AB==6；

（2）设反比例函数解析式为y=，可得A（，7），点B（k，1），
∵BF=BE-EF，
∴k-=6，
解得：k=7，
则反比例解析式为y=．
分析：（1）过点A、B分别作x轴的垂线段，垂足为C、D，过点B作y轴的垂线段于E，BE、AC相交于点F，可得四边形FCDB、EOCF是矩形，根据B纵坐标得到BD与FC的长，根据AC-FC得出AF的长，由AC于y轴平行，得到三角形AFB为等腰直角三角形，得出∠FAB的度数为45°，得到BF=AF，求出BF长，利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）设出反比例解析式y=，表示出A与B坐标，根据BF=BE-EF，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出反比例解析式．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．