Question

已知关于x的二次函数y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4.

（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.

（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式.

Answer 1

解：（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0

△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0

∴m＜-

此时，y的图象与x轴有两个交点

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0

∴m=-

此时，y的图象与x轴只有一个交点

当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0

∴m＞-

此时，y的图象与x轴没有交点

∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；

当m=-时，y的图象与x轴只有一个交点；

当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.

（评分时，考生未作结论不扣分）

（2）由根与系数的关系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4

+=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7

∵+=5，∴2m²-10m-7=5，∴m²-5m-6=0

解得：m₁=6，m₂=-1

∵m＜-，∴m=-1

∴y=x²+3x+2

令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）

又y=x²+3x+2=（x+）²-，∴顶点M的坐标为（-，-）

设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b

2=b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

-=k+b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

b=2

　 k=

∴所求的解析式为y=x+2