Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AD上，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）如图1，点E是边AD上任意一点，请直接填写四边形EGFH是什么样的特殊四边形：______．
（2）如图2，当点E在什么位置时，四边形EGFH是菱形？并加以证明．
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵G，F，H分别是BE，BC，CE的中点，
∴GF∥EC，FH∥BE，
∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）当点E是AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵G，F，H分别是BE，BC，CE的中点，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴EB=EC，
∵F是BC的中点，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．