Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥B

C．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；

(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且＝，求∠B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵MN∥BC，∴∠1＝∠5． 　　又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠5． 　　∴OE＝OC． 　　同理OF＝OC，∴OE＝OF． 　　(2)当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形．以下给出证明． 　　由(1)知OE＝OF，又OA＝OC， 　　∴四边形AECF是平行四边形． 　　∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝， 　　而∠1＝∠2，∠3＝∠4， 　　∴∠2＋∠3＝． 　　∴平行四边形AECF是矩形． 　　(3)如图2，若四边形AECF是正方形，则AC⊥EF．而EF∥BC，∴AC⊥BC．△ABC是直角三角形，其中∠ACB是直角． 　　在等腰直角△AEC中，AC＝AE．又已知＝，BC＝AE．在Rt△ABC中，tan∠B＝＝＝，∴∠B＝．

提示：

由已知条件易证出EO＝CO，FO＝CO，从而得出EO＝FO．第(2)小问当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形．因为矩形是特殊的平行四边形，所以要先满足是平行四边形，再判断是矩形．第(3)小问条件又强化了，AECF是正方形． 　　该题的三个小问题紧密相连，其中前一个小问题的结论，又变成了后一个小问题的条件．要顺利、完整地解答此题，必须对四边形、平行四边形、矩形、正方形这些集合间的“包含”关系有一个清晰的认识(如图1)．对第(1)小问，要证EO＝FO，只要注意到CO的桥梁作用即可．对第(2)小问，因为已有EO＝FO，故要使四边形AECF为矩形，首先必须令AO＝CO，即令点O运动到AC的中点处，此时可判定四边形AECF为平行四边形．为了进一步判定它为矩形，只要再证它有一个内角为即可．第(3)小问则首先肯定四边形AECF是一个正方形，这时为解题方便，应该再作一个符合条件的新图形(如图2)．在Rt△ABC中，由于AC、BC都可以用AE来表示，因此可以得到∠B的正切值，进而求得∠B的大小．