Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y=的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连结CD。

（1）若点A，B'在反比例函数y=的图象的同一分支上，如图①，试证明：①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}②AN=BM；
（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上，如图②，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论。

Answer 1

解：（1）证明；①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，∴四边形AEOC为矩形，
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，∴四边形BDOF为矩形，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，∴四边形AEDK，DCCK，CFBK均为矩形，
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，∴S_矩形AEOC=OC·AC=x₁·y₁=k
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂·y₂=k，∴S_矩形BDOF=OF·FB=x₂·y₂=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形CFBK=S_矩形BDOF=S_矩形DOCK，
S_矩形AEDK=S_矩形CFBK；
②由①知S_矩形AEDK=S_矩形CFBK，AK·DK=BK·CK，
∴=，∵∠AKB=∠CKD=90°，∴△AKB∽△CKD，∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，∴四边形ACDN是平行四边形，∴AN=CD同理BM=CD，∴AN=BM；
（2）解：AN与BM仍然相等，∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，
S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，∴AK·DK=BK·CK，
∴CK/AK=DK/BK，∴∠K=∠K，∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，∴AB∥CD，
∵AC∥y轴，∴四边形ANDC是平行四边形，∴AN=CD，同理BM=CD，∴AN=BM。