Question

如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点．
（1）填空：A（______，______）、B（______，______）、C（______，______）；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线y=-3x-3中，
x=0，则y=-3；y=0，则x=-1；
∴A（-1，0），B（0，-3）；
根据旋转的性质知：OC=OB=3，即C（3，0）；
∴A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过B点，∴c=-3；
又∵抛物线经过A，C两点，
∴，解得；
∴y=x²-2x-3；

（3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F；
由（2）得y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴E（1，-4）．
∵tan∠EDF=，tan∠DCO=；
∴∠EDF=∠DCO
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠EDF+∠ODC=90°；
∴∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DOC；
①当=时，△ODC∽△DPC，
则=，
∴DP=
过点P作PG⊥y轴，垂足为点G；
∵tan∠EDF==，
∴设PG=x，则DG=3x
在Rt△DGP中，DG²+PG²=DP²．
∴9x²+x²=，
∴x₁=，x₂=-（不合题意，舍去）
又∵OG=DO+DG=1+1=2，
∴P（，-2）；
②当=时，△ODC∽△DCP，则=，
∴DP=3；
∵DE==，
∴DP=3（不合题意，舍去）
综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，此时点P的坐标为P（，-2）．
分析：（1）根据直线AB的解析式，可求出A、B的坐标，由于△DOC是由△AOB旋转而得，根据旋转的性质知：OC=OB，由此可得到OC的长，即可求得C点的坐标；
（2）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（3）易求得D、E的坐标，进而可求出CD、DE的长；过E作EF⊥y轴于F，通过证△COD∽△DFE，可得到∠CDE=90°；那么△COD和△CDP中，∠COD、∠CDP都是直角，对应相等，因此本题要分成两种情况讨论：
①OC：OD=CD：DP=3：1，此时CD=3DP，由此可求出DP的长；过P作PG⊥y轴于G，根据∠PDG的正切值结合勾股定理，即可求出DG、PG的长，由此可求得点P的坐标；
②OC：OD=DP：CD=3：1，此时DP=3CD，解法同①；
综合上述情况即可求出P点的坐标，需注意的是P点为线段DE上的点，因此DP≤DE，根据这个条件可将不合题意的解舍去．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的旋转变化、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；在相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．