Question

（2013•香坊区二模）在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AB=2，过点C作直线MN∥AB，F是直线MN上的一点，且AB=AF，则CF=

3

+1或

3

-1

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过A作AE⊥MN于E，过C作CD⊥AB于D，得出四边形AECD是平行四边形，求出AE=CD．
分为两种情况：①当时F点时，②当是F′点时，求出CD=1，FE=

3

，即可求出答案．

解答：
解：如图，过A作AE⊥MN于E，过C作CD⊥AB于D，
则∠AEF=∠AEC=90°，AE∥CD，
∵AB∥MN，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD．
分为两种情况：①当时F点时，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=2，
∴由勾股定理得：AC=BC=

2

，
∠CAB=∠CBA=45°，
由三角形面积公式得：

1

2

AB×CD=

1

2

AC×BC，
2CD=

2

×

2

，
CD=1，
∵AB∥MN，
∴AE=CD=1，
∵∠AEF=90°，AF=2，AE=1，
∴由勾股定理得：FE=

3

，
∵MN∥AB，∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠CAB=45°，
∴∠EAC=45°=∠ECA，
∴AE=EC=1，
∴CF=CE+EF=1+

3

；
②当是F′点时，CF=EF-CE=

3

-1，
故答案为：

3

+1或

3

-1．

点评：本题考查了平行四边形性质和判定，勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的应用，主要考查学生能否求出符合条件的两种情况．